Bjørn Winsvold, Norsonic AS

Ole-Herman Bjor, Norsonic AS

På bakgrunn av nyere internasjonale standarders krav til metoder for beregning av etterklangstid, har vi gjennomført undersøkelser hvor vi sammenlikner to beregningsmetoder ved å sammenholde middelverdi og spredning av resultatene. De to metodene som blir sammenliknet er "minste kvadraters metode" og "trekantmetoden". Begge metodene er implementert i Norsonics lydmåler Nor-121 med bygningsakustikk opsjon, og målingene er utført med dette instrumentet. Begge metodene går ut på å automatisk tilpasse en rett linje til en etterklangskurve som vist i fig. 1.

Fig. 1. Typisk etterklangskurve

Den amerikanske standarden C423 - 99 "Standard Test Method for Sound Absorption and Sound Absorption Coefficients by the Reverberation Room Method" og ISO standarden ISO 3382 - 1997 "Acoustics - Measurement of the reverberation time of rooms with reference to other acoustical parameters" krever begge at man anvender minste kvadraters metode for å beregne etterklangstiden.

Minste kvadraters metode finner en linje hvor summen av kvadrtet av avstanden mellom et punkt på kurven og et punkt på den rette linjen er minimal. Kvadratsummen S er gitt av:

hvor y_i er punkter på etterklangskurven.

Etterklangstiden er gitt av koeffisienten A, som kan finnes ved å finne det optimale punktet hvor kvadratsummen er minimal, dvs. hvor den deriverte med hensyn på A og B er 0.

og

Dette gir følgende uttrykk for A:

Siden x_i = 1,2,3,4…N, vil og

Etterklangstiden T = kA, hvor k er bestemt av tiden mellom hvert punkt på etterklangskurven.

Denne metoden er utviklet på NTH på 1970-tallet hvor T. E. Vigran og S. Sørsdal stod sentralt i arbeidet. Denne metoden har siden den gang blitt implementert i alle Norsonics lydmålere som kan beregne etterklangstid, 823, RTA830, SA110, RTA840 og Nor-121. metoden går ut på at man vekter etterklangskurven med en trekant-funksjon slik at det som skjer midt i etterklangskurven får mest vekt, og det som skjer i endepunktene vektlegges mindre (Fig. 2). Etterklangstiden vil da være gitt av arealet av det skraverte feltet i figuren, som gir en enkel og hurtig beregningsalgoritme.

Fig. 2. Trekantmetoden

66 målinger ble gjort med samme høyttaler- og mikrofonposisjon. Etterklangstider (T30) ble beregnet med minste kvadraters metode og trekantmetoden på samme etterklangskurve samtidig på Nor-121 med bygningsakustikk opsjon. Fem 1/3-oktav bånd med senterfrekvenser 250 Hz, 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz og 4 kHz, ble plukket ut for nærmere analyse. Middelverdi og standardavvik for de to metodene er vist i figurene under. Som "fasit" gjorde vi også målinger med Nor-840 med MLS opsjon i samme høyttaler- og mikrofonposisjon. Etterklangskurvene med MLS metoden, har en mye glattere kurve fordi Schröders metode (bakover-integrering) blir anvendt før etterklangstiden blir beregnet. Dette sikrer en monoton kurve. Metoden eliminerer også den stokastiske spredningen fra støyeksitasjonen. Disse kurvene får da også mindre standardavvik. Resultatene viser at standardavviket er litt større for trekantmetoden enn for minste kvadraters metode. Dette kan forklares med at det effektive dynamiske området er mindre enn 30 dB for T30 beregnet med trekantmetoden, noe som vil gi større usikkerhet. Vi ser også at den midlere etterklangstiden er litt lenger for minste kvadraters metode, sammenliknet med trekantmetoden for alle frekvenser bortsett fra ved 4 kHz hvor forskjellen er veldig liten. Dette kan skyldes en av svakhetene ved minste kvadraters metode som beskrives i neste avsnitt.

Fig. 3. Middelverdi av etterklangstider, T30

Fig. 4. Avvik i middelverdi i forhold til "fasiten", Nor-840 MLS

Fig. 5. Standardavvik i % relativ til midlere etterklangstid

Minste kvadraters metode har to svakheter i forhold til trekantmetoden. Som figur 6. viser, blir etterklangstiden beregnet med minste kvadraters metode ca. 14 % lenger enn ved trekantmetoden i dette eksempelet. Grunnen til dette skyldes at minste kvadraters metode er svært følsom for hva som skjer i endepunktene. Som vi ser av figur 7 får det første nivåfallet, rett etter at støyen har blitt slått av, veldig stor betydning slik at etterklangstiden blir for lang. I dette tilfellet blir feilen betydelig, men oftest blir den ikke så stor. Men siden første punkt på kurven (første gang kurven har falt mer enn 5 dB ned) vil ligge på undersiden av den estimerte linjen og det siste punktet vil ligge på oversiden, vil metoden gi en systematisk feil med litt for lang etterklangstid. Dette stemmer også bra med våre måleresultater.

Fig. 6. a) Minste kvadraters metode gir T30 = 0.88 s. b) Trekantmetoden gir T30 = 0.77 s.

Fig. 7. Kritiske punkter ved minste kvadraters metode

En annen svakhet med minste kvadraters metode, er vist i figur 8. I bildet til venstre ser man at de tre toppene som er ringet inn, bare så vidt stikker opp i det markerte området for beregning av etterklangstid (30 dB området). Disse tre toppene vil få veldig stor betydning siden de ligger langt vekk i fra den riktige linjen. Som vi ser av bildet til venstre, vil disse tre toppene ikke bety mye for trekantmetoden, siden disse får liten vekt i og med at de ligger nærme den nederste grensen av 30 dB området. Siden begge metodene krever en viss avstand ned til bakgrunnstøyen, vil begge etterklangstidene bli markert som tvilsomme.

Fig. 8. a) Minste kvadraters metode gir T30 = 0.57 s. b) Trekantmetoden gir T30 = 0.32 s.

For å minske innvirkningen av de svakhetene som er påpekt i kapittel 5, vil Norsonic i fremtiden se nærmere på følgende:

• Glatting av kurven. Etterklangskurven kan glattes før minste kvadraters metode anvendes. Denne glattingen bør være en funksjon av et foreløpig estimat av etterklangstiden. Dette vil føre til at avvikene mellom linjen og punktene på kurven blir mindre og kurvetilpassningen blir bedre.
• Veie kvadrat-avviket med en vindusfunksjon (f.eks. Hanning) slik at det som skjer i endepunktene får mindre betydning.

Undersøkelsen viser at trekantmetoden og minste kvadraters metode gir tilnærmet like etterklangstider. Etterklangstidene beregnet med minste kvadraters metode gir litt lengre etterklangstider sammenliknet med trekantmetoden og standardavviket er noe større for trekantmetoden. Disse forskjellene er likevel så små at begge metodene fungerer tilfredstillende for beregning av etterklangstider.